Refuerzo pre-PAES matemáticas / Guía 5 y 6

Técnicas de conteo y probabilidad / Guía 5

 

• 5.5 Utiliza fórmula para el cálculo de la probabilidad de una distribución binomial en la solución de ejercicios

• 4.15 Resuelve ejercicios y problemas sobre el cálculo de probabilidades de eventos.

• 2.6 Resuelven problemas de entorno que involucran la aplicación del principio de la multiplicación o suma.

• 6.10 Resuelve ejercicios y problemas aplicados a la vida cotidiana sobre variables con distribución normal.

• 2.17 Utiliza la fórmula apropiada para calcular el número de combinaciones y permutaciones de "n" objetos a la vez.

Datos generales / Guía 5

Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/o variables.
Existen 2 principios principales (multiplicación y adición) permutación y combinación, veamos cada una de ellas detenidamente y sus aplicaciones. 

Principio de la multiplicación

El principio multiplicativo, junto con el aditivo, son básicos para entender el funcionamiento de las técnicas de conteo. En el caso del multiplicativo, consiste en lo siguiente:

Imaginemos una actividad que conlleva un número concreto de pasos (el total lo marcamos como “r”), donde el primer paso puede hacerse de N1 formas, el segundo paso de N2, y el paso “r” de Nr formas. En este caso, la actividad podría realizarse del número de formas resultante de esta operación: N1 x N2 x……….x  Nr formas, como está planteado en la imagen.

Principio de la adición

 

Este principio es muy simple, y consiste en que, en el caso de existir varias alternativas de realizar una misma actividad, las formas posibles consisten en la suma de las distintas formas posibles de realizar todas las alternativas.

Dicho de otra forma, si queremos realizar una actividad con tres alternativas, donde la primera alternativa puede realizarse de M formas, la segunda de N formas y la última de W formas, la actividad puede realizarse de: M + N +………+ W  formas, como esta el ejemplo en la imagen.

Permutaciones

Para comprender qué es una permutación, es importante explicar qué es una combinación para poder diferenciarlas y saber cuándo utilizarlas.

Una combinación sería un arreglo de elementos en los cuales no nos interesa la posición que ocupa cada uno de ellos.

Una permutación, en cambio, sería un arreglo de elementos en los cuales sí nos interesa la posición que ocupa cada uno de ellos.

Vamos a poner un ejemplo para entender mejor la diferencia.

Imaginemos una clase con 35 alumnos, y con las siguientes situaciones:

1. El profesor quiere que tres de sus alumnos le ayuden a mantener la clase limpia o entregar materiales a los otros alumnos cuando lo necesite.
2. El profesor quiere nombrar a los delegados de clase (un presidente, un asistente y un financiero).

La solución sería la siguiente:

1. Imaginemos que por votación se elige a Juan, María y Lucía para limpiar la clase o entregar los materiales. Obviamente, podrían haberse formado otros grupos de tres personas, entre los 35 alumnos posibles.

Debemos preguntarnos lo siguiente: ¿es importante el orden o la posición que ocupa cada uno de los alumnos a la hora de seleccionarlos?

Si lo pensamos, vemos que realmente no es importante, ya que el grupo va a encargarse de las dos labores por igual. En este caso, se trata de una combinación, ya que no nos interesa la posición de los elementos.

2. Ahora imaginemos que se eligen a Juan como presidente, a María como asistente y a Lucía como financiera.

En este caso, ¿importaría el orden? La respuesta es sí, ya que si cambiamos los elementos, cambia el resultado. Es decir, si en vez de poner a Juan como presidente, le ponemos como asistente, y a María como presidente, el resultado final cambiaría. En este caso se trata de una permutación.

Una vez comprendida la diferencia,  vamos a obtener las fórmulas de las permutaciones y de las combinaciones. Sin embargo, antes hay que definir el término “n!” (ene factorial), ya que se utilizará en las distintas fórmulas.

n!= al producto desde 1 hasta n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x………..x  n

Utilizándolo con números reales:

10!=1 x 2 x 3 x 4 x………x 10=3,628,800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x………x  5=120

La fórmula de las permutaciones sería la siguiente:

Formula de permutación

nPr=n!/(n-r)!

Con ella podremos averiguar los arreglos donde el orden es importante, y donde los n elementos son distintos.

 

 

 

Combinaciones 

Como hemos comentado anteriormente, las combinaciones son  los arreglos en donde no nos importa el la posición de los elementos.

Su fórmula es la siguiente:

nCr=n!/(n-r)!r!

Para entenderlo de una mejor manera, veamos un ejemplo de la PAES 2018:

  

Distribución Binomial 

 

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Sus características son:

1. El experimento se realiza más de una vez.
2. Solo hay 2 resultados.
3. las repeticiones son independientes.

La fórmula es la siguiente:

Donde:

• n= número de veces que ocurre el experimento
• x= número de veces que ocurre "x"
• p= Probabilidad de éxito de "x" cuando se realiza el experimento 1 vez.
• q= Probabilidad de fracaso de "x" cuando se realiza 1 vez el experimento (q=1-p)

Veamos un ejemplo de la PAES 2018:

 

La distribución normal

 

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

 

 Características

1. El área bajo toda la curva mide 1.
2. la forma de la curva de la distribución de sus 2 parámetros: la media y desviavión estándar.
3. La media indica la posición de la campana, la gráfica se desplaza a lo largo del eje.
4. La curva es simétrica respecto a la medida.

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

 Ejemplos:

 

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  Guía 6 / Elementos de geometría analítica 

7.10 Utiliza la expresión que denota paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas, con presición y confianza al resolver ejercicios.

7.13 Construye y explica la ecuación de una recta punto-pendiente, valorando su utilidad

 

Datos Generales 

Planteada por René Descártes, La geometría analítica es una rama de las matemáticas que estudia con profundidad las figuras, sus distancias, sus áreas, puntos de intersección, ángulos de inclinación, puntos de división, volúmenes, etc. Es un estudio más profundo para saber con detalle todos los datos que tienen las figuras geométricas.

A continuación, proporcionaremos las fórmulas de la geometría analítica

Fórmula para encontrar el punto medio de una recta, dado sus 2 puntos.

Para encontrar la ecuación de la recta, dados un punto y la pendiente.

Para encontrar la distancia entre 2 puntos.